Question

已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）假设S

已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）假设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

Answer 1

证明：（1）∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，SA，AC?面SAC，
∴BD⊥面SAC，
又∵BD?面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC；
解：（2）由（1）知，BD⊥面SAC，又∵BD?面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，
设AC∩BD=O，则平面SBD∩平面SAC=SO，
过A作AF⊥SO交SO于点F，
则AF⊥面SBD，
所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．
∵ABCD是正方形，AB=2，
∴AO=

2

，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，
∴SO=3

2

，
∵SO×AF=SA×AO，
∴AF=

4

3

，
∴点A到平面SBD的距离为

4

3