线性代数,等价是什么意思
在一个给定的集合S上,我们可以定义元素之间的某种关系。如果该关系满足三个性质:(1)自反性(2)对称性(3)传递性,我们称该关系为等价关系(equivalence relation[1]),记为~。
自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系,即A~A;对称性是若对于S中两个元素A、B,如果A~B,则有B~A;传递性是指对于S中三个元素A、B、C,如果A~B,则有B~C,则有A~C。
扩展资料
如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B,则称A与B等价,记为A~B。
等价具有反身性:即对任意矩阵A,有A与A等价。
对称性:若A与B等价,则B与A等价。
传递性:若A与B等价,B与C等价,则A与C等价。
用矩阵的初等变换求解矩阵方程 最常见的方程有以下两类:
(1)设A是n阶可逆矩阵,B是n×m矩阵,求出矩阵X满足AX=B,原理:AX=B 时
(2)设A是n阶可逆矩阵,B是m×n矩阵,求出矩阵X满足XA=B。
解:由方程XA= B XAA-1 =B A-1 解为x= B A -1
要注意的是,矩阵方程XA=B的解为x= B A -1 ,而不可以写成x= A-1 B。因为X满足XA= BXT 满足ATXT =BT,从而有 XT =(AT )-1 BT =(BA-1 )T,所以,可以先用上述方法求解AT XT =BT ,再把所得结果XT 转置即得所需的X=BA-1 。
(向量组的等价)如果向量组R能由向量组S线性表出,反之,向量组S也能由向量组R线性表出,则称向量组R与S等价。
等价关系与分类
若集合S上具有等价关系~,则按照该等价关系对S中的元素进行分类,就是把具有等价关系的元素归为一类,称为等价类,使得S成为成为各等价类的无交并。这样当S有一个等价关系,S也就有了一个分类标准。
反之,对于集合S,若给一个分类标准,则可以对S进行分类。籍于此分类,我们对S中的元素可以定义一个关系~如下:A、BS,A~B当且仅当A和B属于同一类。
易于验证该关系是一个等价关系。也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。一般地我们有结论:集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。
如果存在一组初等变换把矩阵A变成矩阵B,或者说存在可逆阵P和Q使得PAQ=B,那么称A和B等价(也叫相抵)
类似地有行等价和列等价
不过要注意酉等价是酉相似的意思,而不仅仅是相抵
等价--相同