Question

设f(x)是连续的奇函数,F(x)是f(x)的原函数，证明F(x)是偶函数

Answer 1

证明:F(x)＝∫(x0,x)f(t)dt，F(-x)＝∫（x0,-x）f(t)dt＝∫(x0,-x0)f(t)dt+∫(-x0,-x)f(t)dt＝∫（-x0,-x）f(t)dt，设t＝-u，所以F(-x)＝∫（x0,x）f(-u)d(-u)＝∫(x0,x)f(t)dt＝F(-x)，所以F(x)为偶函数

追问

F(-x)等于的那个你写的第一个积分为什么积分上限会变成-x？自变量不还是x吗？积分上下限应该不变吧？

追答

因为F(x)的积分上限是-x，所以F(-x)的上限就是-x

追问

Answer 2

追问

F（-x）等于的那个积分的积分上限为什么为-x？我的做法F(-x)=-∫(a
→x)f(-t)dt为什么错了？

追答

代进去的是x，因为上限积分函数是关于x的函数，否则左边怎么会与它相等？故F(x)是x的函数，上限是自变量

追问

F（-x）的自变量是什么？是-x吗？如果是那是不是可以直接得出F（-x）等于的第三个积分？直接把f（x）中x替换为-x，dx中x也换成-x？

追答

你还不理解变限积分，上限x是唯一自变量，全等上下限定积分与被积函数的字母无关，书你都没看，凭直觉的思维定势，想当然！

追问

那么这个积分∫(0→x) (x-2t)f(t)dt自变量还是x？x，t是取值不同的自变量？

追答

是x

这个积分是一个函数，函数只与x有关啊