Question

如图，BC是半圆的直径，O为圆心，A是半圆上弧BF的中点，AD⊥BC于点D，AD与BF交于一点E，BA与CF交于点N．

如图，BC是半圆的直径，O为圆心，A是半圆上弧BF的中点，AD⊥BC于点D，AD与BF交于一点E，BA与CF交于点N．（1）依据图中现有的线段，找出所有的相等线段（半径除外）；（2）证明（1）中的任意一组相等线段．（3）证明：BF=2AD．

Answer 1

（1）相等线段有：AE=BE，AB=AF，CN=CB； （2）证明：连接AC， ∵BC是直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠BCA=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠BCA， ∵A是半圆上弧BF的中点， ∴ AB = AF ， ∴AB=AF；∠BCA=∠ABE， ∴∠BAD=∠ABE， ∴AE=BE； ∵∠BCA=∠ECA，CA⊥AN， ∴∠N=∠ABC， ∴CN=CB； （3）证明：连接OA，交BF于点G， ∵A是弧BF的中点，O为圆心， ∴OA⊥BF， ∴BG= 1 2 BF， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADO=∠BGO=90°， 在△OAD与△OBG中， ∠ADO=∠BGO ∠AOD=∠BOG OA=OB ， ∴△OAD≌△OBG（AAS）， ∴AD=BG， ∴BF=2AD．