Question

问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否

问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？初步思考设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．（1）当C、D在线段AB的同侧时．如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是______．如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB______∠ADB；如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB______∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：______．类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形． 由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：______．拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB作法：①连接CA、CB②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；④连接F、E并延长，交直径AB与M；⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

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Answer 1

解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB．
②如图②，延长BD交⊙O于点E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如图③，连接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、
当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
（2）①如图④，
∵

AB

与

ACB

的度数之和等于360°，
且∠ADB的度数等于

ACB

度数的一半，
∠ACB的度数等于

AB

度数的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如图⑤，延长AD交⊙O于点E，连接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如图⑥，连接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
故答案为：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．
（3）图⑦即为所求作．
∵AB是⊙0的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，
∴根据三角形的三条高交于同一点可得：FM⊥AB．
∴∠EMB=90°．
∴∠EMB+∠EDB=180°．
∴由（2）中的结论可得：点E、D、B、M在同一个圆上，如图⑦所示．
∴∠EMD=∠EBD．
∵∠CND=∠CBD，
∴∠CND=∠EMD．
∴CN∥EM．
∴∠CHB=∠EMB．
∵∠EMB=90°，
∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．