Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB． （1）求证：

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB． （1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y．求出y关于x的函数关系式．

Answer 1

解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°． ∵PC=PC， ∴△PBC≌△PDC（SAS）． ∴PB=PD，∠PBC=∠PDC． 又∵PB=PE， ∴PE=PD． ②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时， ∵PB=PE， ∴∠PBE=∠PEB， ∴∠PEB=∠PDC， 而∠PEB+∠PEC=180°， ∴∠PDC+∠PEC=180°， ∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°， ∴PE⊥PD． （ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD． （iii）当点E在BC的延长线上时，如图． ∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴∠DPE=∠DCE=90°， ∴PE⊥PD． 综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD； （2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE． ∵AP=x，AC= ，∠ACB=45°，PF⊥BC， ∴PC= ﹣x，PF=FC= ． BF=FE=1﹣FC=1﹣（ ）= ． ∴S △PBE = EB·FP=BF·PF= （ ）= ． 即 （0＜x＜ ）．