Question

设a=x 2 -x+1，b=x 2 -2x，c=2x-1，若a，b，c分别为△ABC的相应三边长，（1）求实数x的取值范围；（2）求

设a=x 2 -x+1，b=x 2 -2x，c=2x-1，若a，b，c分别为△ABC的相应三边长，（1）求实数x的取值范围；（2）求△ABC的最大内角；（3）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，求 R r 的取值范围．

Answer 1

（1）由题意， ∵构成三角形的条件是三边均为正数，∴ x 2 -x+1＞0 x 2 -2x＞0 2x-1＞0 ? x＞2或x＜0 x＞ 1 2 ，∴x＞2， 又∵任意两边之和大于第三边 ∴a-b=x+1＞0，a-c=（x-1）（x-2）＞0 ∴b+c＞a，∴x 2 -2x+2x-1＞x 2 -x+1，∴x＞2…（4分） （2）由（1）可知A为最大角， cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc = ( x 2 -2x) 2 +  (2x-1) 2 - ( x 2 -x+1) 2 2( x 2 -2x)(2x-1) =- 1 2 ， ∵A为三角形的内角，∴A=120°．…（10分） （3）根据正弦定理得： R= a 2sinA = x 2 -x+1 3 …（11分） 利用三角形的面积相等可得 S △ABC (x)= 1 2 bcsinA= 3 4 x(x-2)(2x-1) ， ∴ r= 2s a+b+c = 3 2 (x-2) …（12分） ∴ R r = 2( x 2 -x+1) 3(x-2) (x＞2) …（14分） 令x-2=t＞0，则 R r = 2 3 (t+ 3 t +3) ∵t＞0， ∴ t+ 3 t ≥ 2 3 ∴ R r ≥ 6+4 3 3 ∴ R r ∈[ 6+4 3 3 ，+∞) …（16分）