Question

（1）已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，若S n = 1 4 （a n +1） 2 ．①求{a n }

（1）已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，若S n = 1 4 （a n +1） 2 ．①求{a n }的通项公式；②设m，k，p∈N * ，m+p=2k，求证： 1 S m + 1 S p ≥ 2 S k （2）若{a n }是等差数列，前n项和为T n ，求证：对任意n∈N * ，T n ，T n+1 ，T n+2 不能构成等比数列．

Answer 1

（1）①由S n = 1 4 ( a n +1 ) 2 ，可得 S n+1 = 1 4 ( a n+1 +1 ) 2 ， 两式相减得 a n+1 = 1 4 ( a n+1 - a n )( a n+1 + a n +2) ， 化为（a n+1 +a n ）（a n+1 -a n -2）=0． ∵a n ＞0，∴a n+1 -a n -2=0，即a n+1 -a n =2． ∴数列{a n }是公差为2的等差数列． 又 a 1 = S 1 = 1 4 ( a 1 +1 ) 2 ，化为 ( a 1 -1 ) 2 =0 ，解得a 1 =1． ∴a n =1+（n-1）×2=2n-1． ②由①知 S n = n(1+2n-1) 2 = n 2 ， ∴ 1 S m + 1 S p - 2 S k = 1 m 2 + 1 p 2 - 2 k 2 = k 2 ( m 2 + p 2 )-2 m 2 p 2 m 2 p 2 k 2 ， 又∵m，k，p∈N * ，m+p=2k，∴ k= m+p 2 ． ∴ 1 S m + 1 S p - 2 S k = ( m+p 2 ) 2 ( m 2 + p 2 )-2 m 2 p 2 m 2 p 2 k 2 ≥ ( mp ) 2 (2mp)-2 m 2 p 2 m 2 p 2 k 2 =0， ∴ 1 S m + 1 S p ≥ 2 S k 成立． （2）由{a n }是等差数列，设公差为d， 假设存在m∈N * ， T m   ，T m+1 ，T m+2 构成等比数列．即 T 2m+1 = T m ? T m+2 ． ∴ ( T m + a m+1 ) 2 = T m ( T m + a m+1 + a m+2 ) ， 化为dT m = a 2m+1 ，即 a 21 + md a 1 + 1 2 m(m+1) d 2 =0 （*） 若d=0，则a 1 =0，∴T m =T m+1 =T m+2 =0，这与 T m   ，T m+1 ，T m+2 构成等比数列矛盾． 若d≠0，要使（*）式中的首项a 1 存在，必须△≥0， 然而△=m 2 d 2 -2m（m+1）d 2 =-（m 2 +2m）d 2 ＜0，矛盾． 综上所述，对任意n∈N * ，T n ，T n+1 ，T n+2 不能构成等比数列．