Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos 2 x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间

已知函数f（x）=sin2x+2cos 2 x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间 [ π 4 ， 3π 4 ] 上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵2cos 2 x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos 2 x-1， ∴f（x）=sin2x+cos2x= 2 sin(2x+ π 4 ) ．…..（3分） 因此，函数的周期T= ω= 2π 2 =π ．…..（5分） 又∵ -1≤sin(2x+ π 4 )≤1 ， ∴ - 2 ≤f(x)≤ 2 ，当2x+ π 4 = π 2 +2kπ时，即x= π 8 +kπ（k∈Z）时，函数的最大值为 2 ． 综上所述，函数f（x）的最小正周期是π；最大值是 2 ．…..（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）= 2 sin(2x+ π 4 ) ． ∵ π 4 ≤x≤ 3π 4 ，得 3π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 7π 4 ． ∴- 2 ≤ 2 sin(2x+ π 4 ) ≤ 2 × 2 2 =1 当 2x+ π 4 = 3π 4 时，即 x= π 4 时，函数f（x）有最大值是1； 当 2x+ π 4 = 3π 2 时，即 x= 5π 8 时，函数f（x）有最小值是 - 2 ． 综上所述，函数f（x）在区间 [ π 4 ， 3π 4 ] 上的最大值是1，最小值是 - 2 ．…..（13分）