Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点B出发沿BA向终点A

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点O出发沿OB向点B运动，到达点B后立刻以原来的速度沿BO返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）求点P的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点Q从点O向点B运动时（未到达点B），是否存在实数t，使得△BPQ的面积大于17若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．是否存在t的值，使得直线l经过点O？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）

如图，过点P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．
∵y=-

3

4

x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴

DP

OA

＝

BP

BA

，
∵BP=t，
∴

DP

4

＝

t

5

，
∴DP＝

4

5

t．
∵由点P过AB，
∴将x=

4

5

t代入y=-

3

4

x+3，得y=?

3

5

t+3，
∴P（

4

5

t，?

3

5

t+3）．

（2）不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17．
∵Q、P在OB、OA上运动，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=

1

2

OA?OB=

1

2

?3?4=6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17．

（3）
∵P（

4

5

t，?

3

5

t+3），
∴OC=

4

5

t，PC=?

3

5

t+3，
∴OP2＝(

4

5

t)2+(3?

3

5

t)2，
∵O在l的垂直平分线上，
∴OP=OQ．
①当0＜t≤3时，OP=t，则t²=(

4

5

t)2+(3?

3

5

t)2，解得 t=

5

2

，符合要求．
②当3＜t≤5时，
∵BQ=t-3，
∴OQ=3-（t-3）=6-t，
∴（6-t）²=(

4

5

t)2+(3?

3

5

t)2
解得 t=

45

14

，符合要求．
综上所述，t=

5

2

或<