如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，且侧面AA1C1C是边长为2的正方形，E是A，B
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，且侧面AA1C1C是边长为2的正方形，E是A，B的中点，F在棱CC1上．（1）当C1F=12...
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，且侧面AA1C1C是边长为2的正方形，E是A，B的中点，F在棱CC1上．（1）当C1F=12CF时，求多面体ABCFA1的体积；（2）当点F使得A1F+BF最小时，判断直线AE与A1F是否垂直，并证明的结论．
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（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵C1F＝
CF，AC＝CC1＝2，
∴CF＝
，S直角梯形AA1FC＝
．
由已知得△ABC的高为
且等于四棱锥B-A1ACF的高．
∴VB?A1ACF＝
×
×
＝
，
即多面体ABCFA1的体积为
．…（5分）
（Ⅱ）将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，
连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．
此时FC平行且等于A1A的一半，∴F为C1C的中点．…（7分）
过点E作EG∥A1F交BF于G，则G是BF的中点，EG＝
A1F＝
．．
过点G作GH⊥BC，交BC于H，则GH＝
FC＝
．
又AH＝
解：（Ⅰ）∵C1F＝
| 1 |
| 2 |
∴CF＝
| 4 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
由已知得△ABC的高为
| 3 |
∴VB?A1ACF＝
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 3 |
| 10 |
| 9 |
| 3 |
即多面体ABCFA1的体积为
10
| ||
| 9 |
（Ⅱ）将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，
连结A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F+BF最小．
此时FC平行且等于A1A的一半，∴F为C1C的中点．…（7分）
过点E作EG∥A1F交BF于G，则G是BF的中点，EG＝| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
过点G作GH⊥BC，交BC于H，则GH＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又AH＝
