Question

已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn＝1(2n+1)(2n+3)．（1）求证数列{an+1}是等比数列，并

已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn＝1(2n+1)(2n+3)．（1）求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn，并求使得Tn＞1am对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1＝2×2n?1，
∴an＝2n?1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn＝

1

(2n+1)(2n+3)

＝

1

2

(

1

2n+1

?

1

2n+3

)，…（6分）
∴Tn＝

1

2

(

1

3

?

1

5

+

1

5

?

1

7

+…+

1

2n+1

?

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

?

1

2n+3

)＝

n

3×(2n+3)

＝

n

6n+9

．…（8分）
∵

Tn+1

Tn

＝

n+1

6n+15

?

6n+9

n

＝

6n2+15n+9

6n2+15n

＝1+

9

6n2+15n

＞1，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．
∴当n=1时，T_n取得最小值

1

15

．…（10分）
要使得Tn＞

1

am

对任意n∈N^*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需

1

15

＞

1

2m?1

，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）