Question

有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现

有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律解答下面的问题：（1）写出第8个等式为______；（2）试用含正整数n的等式表示你所发现的规律；（3）说明你在（2）中所写等式成立的理由．

Answer 1

（1）根据题意得：第8个等式为：8²+9²+72²=73²；
故答案为：8²+9²+72²=73²；
（2）归纳总结得：n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，n为正整数；
（3）理由：n²+（n+1）²=n²+n²+2n+1=2n²+2n+1，[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²=（n²+n+1+n²+n）（n²+n+1-n²-n）=2n²+2n+1，
∴n²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²，
即n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，
则（2）中的等式成立．