Question

复变函数留数？

Answer 1

答案是D。设f(z)=tan(πz)。∴f(z)=sin(πz)/cos(πz)。令cos(πz)=0，∴πz=(2k+1)π/2，z=k+1/2，k=0，±1，±2，……。
显然，在丨z丨=1域内，f(z)有两个一阶极点z1=1/2、z2=-1/2。
∴Res[f(z),z1)=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=-1/π。同理，Res[f(z),z2)=-1/π。
∴由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1)+Res[f(z),z2)}=-4i。故，选D。

Answer 2

在|z|=1，y＝tanπz＝sinπz/cosπz，有孤立奇点z=-1/2和1/2。且都是一阶极点。
Res[f,-1/2]=lim（x——＞-1/2）（x+1/2）sinπz/cosπz=lim-[sinπz+（x+1/2）πcosπz]/πsinπz=-[-1+0]/π×（-1）＝-1/π
Res[f,1/2]=lim（x——＞1/2）（x-1/2）sinπz/cosπz=lim-[sinπz+（x-1/2）πcosπz]/πsinπz=-[1+0]/π×1＝-1/π
原式＝2πi×（-1/π-1/π）。＝-4i