Question

已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x(a∈R)急急急！！！

当a＞-1/2时讨论fx的单调性

Answer 1

y'=1/x+a-(a+1)/x^2,定义域为x>0
令y'=0,则
(1)当a=0时,解得x=1.当x>1时,y'=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2>0,当0<x<1时y'<0
∴当x∈[1,+∞)时f(x)为增函数,x∈(0,1)时是减函数
(2)当a≠0时,ax^2+x-(a+1)=0,当a>-1/2时△=1+4a(a-1)>0恒成立,即方程有两个根

分解因式得(ax+a+1)(x-1)=0,∴两根分别为x1=1,x2=1+1/a
①当-1/2<a<0时,1/a<-2,此时x2=1+1/a<-1<x1,∴只考虑x>0的部分
作图得当0<x<1时y'>0,当x>1时y'<0,∴当x∈(0,1)时f(x)为增函数,x∈[1,+∞)时为减函数
②当a>0时,x1<x2且开口向上,作图得当0<x<1和x>1+1/a时y'>0,当1<x<1+1/a时y'<0
∴当x∈(0,1]和[1+1/a,+∞)时为增函数,x∈(1,1+1/a)是减函数