Question

已知：一条抛物线的开口向上，顶点为A（-2，0），与y轴相交于点B，过点B作BC ∥ x轴，交抛物线于点C，过

已知：一条抛物线的开口向上，顶点为A（-2，0），与y轴相交于点B，过点B作BC ∥ x轴，交抛物线于点C，过点C作CD ∥ AB，交x轴于点D．（1）求点D的坐标．（2）试探索：AC与BD能否互相垂直？如果能，请求出以这条抛物线为图象的二次函数的解析式；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，得点B、C关于直线x=-2对称，点B的横坐标为0， ∴点C的横坐标为-4． ∴BC=4． ∵BC ∥ AD，CD ∥ AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AD=4． ∴点D的坐标为（-6，0）． （2）能． 要使AC与BD互相垂直，必须使平行四边形ABCD是菱形， 即AB=BC=4． ∵AO=2，∴ BO=2 3 ，即点B的坐标为（0， 2 3 ）． 设所求的二次函数的解析式为y=a（x+2） 2 ． 代入点B的坐标，得 2 3 =4a ． ∴ a= 3 2 ． ∴当二次函数的解析式为 y= 3 2 x 2 +2 3 x+2 3 时，AC⊥BD．