Question

一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=5 2 -3 2 ，16就是一个“

一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=5 2 -3 2 ，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．

Answer 1

1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1） 2 -k 2 （k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1） 2 -（k-1） 2 （k=2，3，…）． 即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”． 对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x 2 -y 2 =（x+y）（x-y），其中x，y为正整数， 当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾． 所以不存在自然数x，y使得x 2 -y 2 =4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”． 因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为1998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”， 注意到2666不是“智慧数”， 因此2667是第1998个“智慧数”， 即第1998个“智慧数”是2667．

Answer 2

1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1） 2 -k 2 （k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1） 2 -（k-1） 2 （k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x 2 -y 2 =（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x 2 -y 2 =4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为1998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，
注意到2666不是“智慧数”，
因此2667是第1998个“智慧数”，
即第1998个“智慧数”是2667