Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：BD1⊥平面ACB1（2）若BD1与平面ACB1交于点H，求BH的

如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：BD1⊥平面ACB1（2）若BD1与平面ACB1交于点H，求BH的长．

Answer 1

（1）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
因为AC⊥BD，AC⊥DD₁，且BD∩DD₁
所以AC⊥平面BDD₁B₁
又BD₁?平面BDD₁B₁
所以AC⊥BD₁，同理可证AB₁⊥BD₁，
又因为AC与AB₁是平面ACB₁内的两条相交直线，
所以BD₁⊥平面ACB₁
（2）解：因为BD₁与平面ACB₁交于点H，所以由（1）知BH⊥平面ACB₁
又VB1?ABC＝VB?AB1C，所以

1

3

?S△ABC?BB1=

1

3

?S△AB1C?BH
又正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，所以S△ABC＝

1

2

，S△AB1C＝

3

2

，BB₁=1
所以BH=

3

3

．