Question

（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的

（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=______时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为S平方单位．①求S与ι之间的函数关系式；②当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

Answer 1

（1）在直角△ABC中，AC=

AB2?BC2

=4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7s．

（2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1s．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=

1

2

PC．△AQH∽△ABC，
∵BC=3，AB=5，QH⊥AC，
∴

BC

AB

=

QH

AQ

=

3

5

，
∴QH=

3

5

AQ，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=

3

5

AQ=

3

5

(2t?4)．
∵PC=BC-BP=3-t，
∴

3

5

（2t-4）=

1

2

（3-t），
解得：t=

39

17

s；
综上所述，t=1s或

39

17

s；

（3）①连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，
则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：

3

5

（14-2t），
故S=

1

2

（t-3）×

3

5

（14-2t）=

3

5

（-t²+10t-21）．

②故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=

1

2

AC=2，PD=

1

2

BC=

3

2

，
AQ=14-2t=14-2×5=4．
则PC边上的高是：

3

5

AQ=

3

5

×4=