Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞-1；（Ⅰ）求：f（0

已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f（x）＞-1；（Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；（Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1-x）＞4．

Answer 1

（Ⅰ）令x=y=0
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（0）=f（0）+f（0）+1
∴f（0）=-1，
在R上任取x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞-1，
∴f（x₁-x₂）＞-1
则f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，
=f（x₁-x₂）+f（x₂）+1＞f（x₂），
∴f（x）在R上是单调增函数．
（Ⅱ）由f（1）=1得：f（2）=3，f（3）=5，
则关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4可化为
关于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）+1＞5，
即关于x的不等式；f（x²+x+1）＞f（3），
由（Ⅰ）的结论知f（x）在R上是单调增函数，
故x²+x+1＞3，
解得：x＜-2或x＞1，
故原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．