Question

（2013?高要市二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于

（2013?高要市二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．（1）求证：△AOB∽△BDC；（2）设大圆的半径为x，CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

（1）证明：∵大⊙O与CD相切于点C，
∴∠DCO=90°，
∴∠BCD+∠OBC=90°，
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠BCD=∠ABO，
∵小⊙O与AB相切于点A，
∴∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∴△AOB∽△BDC．

（2）解：过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四边形OABH是矩形，
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，
在Rt△OAB中，AB=

OB2?OA2

＝

x2?1

，
∵△AOB∽△BDC，
∴

CD

OB

＝

CB

AB

，
∴

y

x

＝

2

x2?1

，
∴函数解析式为y＝

2x

x2?1

，定义域为x＞1．