Question

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA?3cosCcosB＝3c?ab．（Ⅰ） 求sinCsinA的值；（Ⅱ）

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA?3cosCcosB＝3c?ab．（Ⅰ） 求sinCsinA的值；（Ⅱ） 若b=2，且0＜B≤π3，求边长a的取值范围．

Answer 1

（1）由正弦定理得

cosA?3cosC

cosB

＝

3sinC?sinA

sinB

   …（2分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）…（4分）
又A+B+C=π，所以sinC=3sinA
因此

sinC

sinA

=3 …（6分）
（2）由（1）得

sinC

sinA

＝3，可得c=3a①…（8分）
∵0＜B≤

π

3

，即

1

2

≤cosB＜1②…（10分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，把①代入可得cosB＝

5a2?2

3a2

…（12分）
代入②式，解得

2 7

7

≤a＜1…（14分）