Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AA1，AC＝2BC，点D是AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AA1，AC＝2BC，点D是AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）证明：B1C⊥平面ABC1；（3）证明：平面ABC1⊥平面B1CD．

Answer 1

证明：（1）设B₁C，BC₁交于点M，连结MD．…（1分）
∵四边形BCC₁B₁为平行四边形，
∴点M为BC₁的中点．…（2分）
在△ABC₁中，点D，M分别是AB，BC₁的中点，
∴DM∥AC₁．…（4分）
又∵DM?面B₁CD，AC₁?面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（5分）
（2）∵AB=BC，AC＝

2

BC，
∴AC²=BC²+AB²，∴AB⊥BC．…（6分）
∵AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴BB₁⊥AB…（7分），
又∵BB₁∩BC=点B，BB₁、BC?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁…（8分）．
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C．…（9分）
在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（10分），
又∵AB∩BC₁=点B，AB、BC₁?平面ABC₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁．…（11分）
（3）又∵B₁C?平面B₁CD，
∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．…（14分）