Question

已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（x＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+

已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（x＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）n∈N*，求证：1ln2+1ln3+1ln4+…+1ln(n+1)＞3n+12n+2．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x，（x＞0）．
∴f′(x)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x＞0．
当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a），（1，+∞）是单调递增；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1），（a，+∞）是单调递增．
（Ⅱ）解：由f（x）≥0，得a≤

1

2

×

x2-2x

x-lnx

，（x＞0）恒成立，
∴即f（x）≥f（1）≥0，
∴若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围为（-∞，-

1

2

）．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：a=-

1

2

时，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，
即lnx≤x²-x，（x=1时取等号），
∴当x≥3时，

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x-1

-

1

x

，
又

1

ln2

＞1，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞1+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1+

1

2

-

1

n+1

=

3n+1

2n+2

．
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

ln(n+1)

＞

3n+1

2n+2

．