Question

已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[-π2，0]时，求函数f

已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[-π2，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-cos²x+1
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

+1
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

4

．
∴-1≤sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴

? 2 +1

2

≤

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

≤1，
即

? 2 +1

2

≤f（x）≤1；
当2x-

π

4

=-

π

2

时，即x=-

π

8

时，函数f（x）取到最小值

? 2 +1

2

，
当2x-

π

4

=-

5π

4

，即x=-

π

2

时，函数f（x）取到最大值1．