Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB． （1）求sinB的值；（2）若BA?BC=2

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB． （1）求sinB的值；（2）若BA?BC=2，b=22，求a和c的值．

Answer 1

（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．
又sinA≠0，所以cosB=

1

3

因为B是△ABC的角
所以B∈[0，π]
所以sinB=

2 2

3

（2）由

BA

?

BC

=2，可得accosB=2，
因为cosB=

1

3

，所以ac=6，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²=12，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以a=c=

6

．