Question

设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性

设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞1?2ln24．

Answer 1

（I）f′(x)＝2x+

a

1+x

＝

2x2+2x+a

1+x

(x＞?1)
令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x＝?

1

2

．
由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为

△＝4?8a＞0 g(?1)＝a＞0

，得0＜a＜

1

2

（1）当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；
（2）当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；
（3）当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴?

1

2

＜x2＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
设h(x)＝x2?(2x2+2x)ln(1+x)(x＞?

1

2

)，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）当x∈(?

1

2

，0)时，h'（x）＞0，∴h（x）在[?

1

2

，0)单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴当x∈(?

1

2

，0)时，h(x)＞h(?

1

2

)＝

1?2ln2

4

故f(x2)＝h(x2)＞

1?2In2

4

．