Question

三角形中若角A为60度，BC边上的高为1，求三角形ABC面积的最小值

Answer 1

可以求出最大值，因为三角形面积S＝bcsinA/2，sinA＝√3/2。所以面积S＝√3bc/4。因为2bc≤b²+c²。当b＝c时有最大值。此时S＝√3/3

Answer 2

解：在△ABC中，过点A做AD⊥BC与D，则AD就是△ABC中BC上的高，则AD=1
为方便书写再设△ABC=s、s>0，∠BAD=α，∠CAD=∠BAC-α=60°-α 则有
∠CAD=∠BAC-α=60°-α
BD=AD·tanα=tanα
DC=AD·tan（∠BAC-α)=tan（60°-α)
∵s=AD·BC/2=AD·（BD+DC）/2
∴2s=tan（60°-α)+tanα
∵tan（60°-α)=（tan60°-tanα）/（1+tan60°tanα）
tan60°=√3，设tanα=x
代入2s=tan（60°-α)+tanα，按x的降幂化简，得
x²-2sx+1-2s/√3=0
∵本方程肯定有解
∴Δ=（-2s）²-4（1-2s/√3）≥0
化简：
s²+2s/√3-1≥0
结合开始设置时s>0，解该不等式，得
s≥√3/3
∴△ABC面积的最小值是√3/3

拓展一下，x-2sx+1-2s/√3=0中解都是大于零的，所以
x₁+x₂=1-2s/√3>0。可得：√3/2>s