Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= ，且60°< <120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=12

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= ，且60°< <120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°— ．（1）用含 的代数式表示∠APC，得∠APC =______；（2）求证：∠BAP=∠PCB；（3）求∠PBC的度数．

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Answer 1

（1）∠APC ．     （2）证明：如图5．  ∵CA=CP， ∴∠1=∠2= ． ∴∠3=∠BAC－∠1= = ． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB= = ． ∴∠4=∠ACB－∠5= = ． ∴∠3=∠4． 即∠BAP=∠PCB．                        （3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）． ∵PC=AC，AB=AC， ∴PC=AB． 在△ABP和△CPM中，            AB=CP， ∠3=∠4， AP=CM， ∴△ABP≌△CPM． ∴∠6=∠7， BP=PM． ∴∠8=∠9． ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4， ∴∠ABC－∠8=∠9－∠4． 即（ ）－∠8=∠9－（ ）． ∴ ∠8＋∠9= ． ∴2∠8= ． ∴∠8= ． 即∠PBC= ．                          解法二：作点P关于BC的对称点N， 连接PN、AN、BN和CN（如图7）．  则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称． ∴△PBC≌△NBC． ∴BP=BN，CP=CN， ∠4=∠6= ，∠7=∠8． ∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6 = = ． ∵PC=AC， ∴AC=NC． ∴△CAN为等边三角形． ∴AN=AC，∠NAC= ． ∵AB=AC， ∴AN=AB． ∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（ ）－ = ， ∴∠PAN=∠3． 在△ABP和△ANP中，            AB=AN， ∠3=∠PAN， AP=AP， ∴△ABP≌△ANP． ∴PB=PN． ∴△PBN为等边三角形． ∴∠PBN= ． ∴∠7= ∠PBN = ． 即∠PBC= ．

(1)由PC=AC，根据等腰三角形的特征即可表示出∠APC； （2）根据等边对等角及三角形的内角和可分别用含 代数式表示出∠BAP与∠PCB即可得到结果； （3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6） 先得到△ABP≌△CPM，再根据全等三角形的对应边、对应角相等推出含 的方程即可求出∠PBC。 解法二：作点P关于BC的对称点N，连接PN、AN、BN和CN（如图7）． 根据对称性可得△PBC≌△NBC，再根据全等三角形的对应边相等即可推出△CAN为等边三角形，从而得到△ABP≌△ANP，推出△PBN为等边三角形，即可求出∠PBC。