Question

已知函数f（x）=lnx- a x ．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[

已知函数f（x）=lnx- a x ．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为 3 2 ，求a的值．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）= x+a x 2 ∵a＞0，∴f′（x）＞0 ∴f（x）在定义域上单调递增； （2）由（1）知，f′（x）= x+a x 2 ①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数 ∵f（x）在[1，e]上的最小值为 3 2 ， ∴f（x） min =f（1）=-a= 3 2 ， ∴a=- 3 2 （舍去） ②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数， ∴f（x） min =f（e）=1- a e = 3 2 ，∴a=- e 2 （舍去）． ③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a． 当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数； 当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数， ∴f（x） min =f（-a）=ln（-a）+1= 3 2 ，∴a=- e ． 综上可知：a=- e ．