Question

如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值

如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．

Answer 1

解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10

5

，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BE⊥AC，
∴S_△ABC=

1

2

AC?BE=

1

2

AB?BC，得BE=4

5

，BB′=2BE=8

5

，
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，则∠B′BG=∠ACB，又∠B′GB=∠ABC=90°，
得△B′GB∽△ABC，

B′G

AB

=

B′B

AC

，
B′G=

8 5 ×20

10 5

=16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：16cm．