设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使
设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立...
设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．
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（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+
=（x-a）（2lnx+1-
），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2，
解得3e?
≤a≤3e+
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+
=（x-a）（2lnx+1-
），
令h（x）=2lnx+1-
，则h（1）=1-a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-
≥2ln3e+1-
=2（ln3e-
）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0
则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，
当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，
在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有
| (x?a)2 |
| x |
| a |
| x |
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2，
解得3e?
| 2e | ||
|
| 2e | ||
|
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+
| (x?a)2 |
| x |
| a |
| x |
令h（x）=2lnx+1-
| a |
| x |
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-
| a |
| 3e |
3e+
| ||||
| 3e |
| 1 | ||
3
|
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0
则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，
当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，
在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有
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