Question

等差数列{an}首项为a1=2，公差不为0，且a1、a3、a7成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=an2．（Ⅰ）

等差数列{an}首项为a1=2，公差不为0，且a1、a3、a7成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=an2．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2n-1（bn-1），求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}首项为a₁=2，公差不为0，且a₁、a₃、a₇成等比数列，
∴（2+2d）²=2（2+6d），
解得d=1，或d=0（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=a_n²=（n+1）²，
∴b1＝(1+1)2=4，
b_n=T_n-T_n-1=（n+1）²-n²=2n+1，
n=1时，2n+1=3≠b₁，
∴bn＝

4，n＝1 2n+1，n≥2

．
（2）∵c_n=2^n-1（b_n-1），
∴c₁=2⁰?（4-1）=3，S₁=3；
n≥2时，c_n=2^n-1（b_n-1）=n?2ⁿ，
Sn＝3+2?22+3?23+…+n?2n，①
2S_n=6+2?2³+3?2⁴+…+n?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=-3+8+2³+2⁴+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=5+

8(1?2n?2)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹
=-（n-1）?2ⁿ⁺¹-3，
∴Sn＝(n?1)?2n+1+3．
n=1时也成立，
∴Sn＝(n?1)?2n+1+3．