在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，以点B为旋转中心，将△AOB...
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．（1）用尺规作图作出△A′O′B；（2）证明：点C、O、O′和A′四点共线；（3）求OA+OB+OC的值．
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（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=
，
∴tan∠ABC=
=
=
，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，
再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，
即△A′O′B如图所示；
（2）证明：∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
（3）在Rt△A′BC中，A′C=
=
=
| 3 |
∴tan∠ABC=
| AC |
| BC |
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
∴∠ABC=30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，
再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，
即△A′O′B如图所示；
（2）证明：∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
（3）在Rt△A′BC中，A′C=
| BC2+A′B2 |
|
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