Question

已知动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）2+y2=1外切．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；（Ⅱ）若正△OA

已知动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）2+y2=1外切．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；（Ⅱ）若正△OAB的三个顶点都在点M的轨迹上（O为坐标原点），求该正三角形的边长．

Answer 1

（Ⅰ）由题意动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）²+y²=1外切
∴动点M到C（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等
由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（3，0）为焦点直线x=-3为准线的抛物线
故所求M的轨迹方程为y²=12x
（Ⅱ）由题意此正三角形必有一个顶点是抛物线的顶点，另两个顶点的连线垂直于抛物线的对称轴，可设过原点的两边所在的直线方程为y＝±

3?

3

x，
∴

y2＝12x y＝ 3 3 x

?yA＝12

3

∴正△OAB的边长AB＝2yA＝24

3