Question

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi=Xi-.X，i=1，2，…

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi=Xi-.X，i=1，2，…，n．求：（Ⅰ） Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）．（Ⅲ）若c(Y1+Yn)2是σ2的无偏估计量，求常数c．

Answer 1

由题设，知：X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，
且：EXi＝0，DXi＝σ2(i＝1，2，…，n)，E

.

X

＝0，

（I）
由方差的性质可得：
DYi＝D(Xi?

.

X

)＝D[(1?

1

n

)Xi?

1

n

n

j≠i

Xj]=(1?

1

n

)2DXi+

1

n2

n

j≠i

DXj
=

(n?1)2

n2

σ2+

1

n2

?(n?1)σ2＝

n?1

n

σ2．

（II）
由协方差的计算公式以及数学期望的性质可得，
 Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]=E(Y1Yn)＝E[(X1?

.

X

)(Xn?

.

X

)]
=E(X1Xn?X1

.

X

?Xn

.

X

+

.

X

2)=E(X1Xn)?2E(X1

.

X

)+E

.

X

2
=0?

2

n

E[

X

2 1

+

n

j＝2

X1Xj]+D

.

X

+(E

.

X

)2
=?

2

n

σ2+

1

n

σ2＝?

1

n

σ2．

（III）
由无偏估计的定义可得：
E[c(Y1+Yn)2]＝cD(Y1+Yn)=c[DY₁+DY₂+2Cov（Y₁，Y_n）]=c[

n?1

n

+

n?1

n

?

2

n

]σ2＝

2(n?2)

n

cσ2＝σ2，
故：c＝

n

2(n?2)

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示