Question

如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；

如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．

Answer 1

解答：（1）证明：作PM⊥CF，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，
∴∠FDP=∠DFM=∠FMP=90°，
∴四边形PDFM是矩形，
∴PD=FM．
∵PE⊥AC，且PM⊥CF，
∴∠PMC=∠CEP=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB⊥FC，PM⊥FC，
∴AB∥PM，
∴∠MPC=∠B，
∴∠MPC=∠ECP，
在△PCM和△CPE中，
∵

∠CMP＝∠PEC ∠MPC＝∠ECP PC＝CP

，
∴△PCM≌△CPE（AAS），
∴CM=PE，
∴PD+PE=FM+MC=CF；

（2）PD-PE=CF；
证明如下：
作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF=DM，
∴CM∥AB，∴∠MCP=∠B，
又∠ACB=∠ECP（对顶角相等），
且AB=AC得到∠B=∠ACB，
∴∠MCP=∠ECP，
又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC=∠PEC=90°，
在△PCM和△PCE中，
∵

∠PMC＝∠PEC ∠PCE＝∠PCM PC＝PC

，
∴△PCM≌△PCE（AAS），
∴PM=PE，
∴PD-PE=PD-PM=DM=CF．