Question

证明:如果向量组Ⅰ可以由向量组Ⅱ线性表示,则向量组Ⅰ线性相关.

如果向量组α1,α2,α3,……,αs可以由向量组β1,β2,β3……βt线性表示，并且s>t,则向量组α1,α2,α3,……,αs线性相关.
如果向量组α1,α2,α3,……,αs线性无关，并且可以由向量组β1,β2,β3……βt线性表示，则s≤t

Answer 1

∵ 向量组α1,α2,α3,……,αs可以由向量组β1,β2,β3……βt线性表示

∴ 存在t*s矩阵K 满足 (α1,α2,α3,……,αs) = (β1,β2,β3……βt)K
又∵ t<s
∴ 齐次线性方程组 KX=0 有非零解 X0
∴ (α1,α2,α3,……,αs)X0 = (β1,β2,β3……βt)KX0 = 0
∴ 齐次线性方程组 (α1,α2,α3,……,αs )X=0 有非零解 X0
∴ α1,α2,α3,……,αs 线性相关

第二个命题是第一个命题的逆否命题