Question

设a>0，有任意两数x,y,且0<x<a,0<y<a,求xy<a^2/4的概率

Answer 1

在平面上作直线x＝a、y＝a，得一个正方形，其面积为a^2，则满足条件0<x<a，0<y<a的点都在这个正方形内
而满足xy<a^2/4在正方形内，由曲线xy<a^2/4、直线x＝a、直线y＝a以及两
坐标轴
围成的区域，这部分面积等于一个宽为a/4长为a的长方形的面积以及曲线xy<a^2/4、直线x＝a/4、x轴围成的曲边形的面积和
长方形面积为a·a/4＝a^2/4，曲边形面积用积分计算得a^2/4·ln4
故所求概率为：(a^2/4＋a^2/4·ln4)/a^2＝(1＋ln4)/4

Answer 2

在平面坐标系的第一象限作一个边长为a的正方形，再作反比例函数y＝a^2/(4x)
的图像
则所求概率为正方形内且在双曲线下方的曲边形面积除以正方形面积