Question

如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+M

如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______。

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Answer 1

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试题分析：在AC上截取AE=AN，连接BE，根据角平分线的性质结合公共边即可得到△AME≌△AMN，可得ME=MN，即得BM+MN=BM+ME≥BE，根据BM+MN有最小值可得当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，则可得△ABE为等腰直角三角形，从而求得结果. 在AC上截取AE=AN，连接BE ∵∠BAC的平分线交BC于点D ∴∠EAM=∠NAM ∵AM=AM ∴△AME≌△AMN（SAS） ∴ME=MN ∴BM+MN=BM+ME≥BE ∵BM+MN有最小值 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC 又AB= ，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形 ∴BE=5，即BE取最小值为5 ∴BM+MN的最小值是5． 点评：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．