Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有 成立．（1）证明：f（2）=2；（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式．

Answer 1

证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2． 因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤  成立， 所以f（2）≤  =2． 所以f（2）=2． 解：（2）由  得   从而有b=  ，c=1﹣4a． 于是f（x）=ax 2 +  x+1﹣4a． f（x）≥x ax 2 ﹣  x+1﹣4a≥0． 若a=0，则﹣  x+1≥0不恒成立． 所以  即  解得a=  ． 当a=  时，f（x）=  满足f（x）≤  ． 故f（x）=  ．