Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设圆C方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
在曲线y=x²-6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）
再令y=0，可得方程x² -6x+1=0与x²+Dx+F=0是同一方程，得D=-6，F=1，
代入（*）解出E=-2，
∴圆C方程为x²+y²-6x-2y+1=0，即（x-3）²+（y-1）²=9
（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组
由

x?y+a＝0 (x?3)2+(x?1)2＝9

消去y，得方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，
∴△=56-16a-4a²＞0．
利用根与系数的关系，得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

1

2

（a²-2a+1）①，
若OA⊥OB，则可得x₁x₂+y_1^y2=0，
结合y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，代入可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②联解可得a=-1，此时△=56-16a-4a²68＞0．
∴a=-1，得存在斜率为1的直线x-y-1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．