Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设点E是B1C1的

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1．（3）设点M在棱BB1上，试确定点M的位置，使得平面AMC1⊥平面AA1C1C．

Answer 1

解答：（1）证明：因为该几何体为正三棱柱，所以AC12＝AC2+CC12，
又AD⊥C₁D，所以AC12=AD²+DC12=AD²+DC²+CC12，
所以AC²+CC12=AD²+DC²+CC12，即AC²=AD²+DC²，
所以AD⊥DC，又AD⊥DC₁，DC∩DC₁=D，DC?面BCC₁B₁，DC₁?面BCC₁B₁；
所以AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）证明：由（1）知，AD⊥BC，∴D为BC中点，又E是B₁C₁的中点，
所以DE∥AA₁，DE=AA₁，所以四边形ADEA₁为平行四边形，
所以A₁E∥AD，且A₁E?面ADC₁，AD?面ADC₁，
所以A₁E∥面ADC₁．
（3）解：点M为BB₁的中点，证明如下：
取AC中点G，AC₁中点N，连接MN，BG，
则GN∥CC₁，且GN=

1

2

CC₁，又BM∥CC₁，BM=

1

2

CC₁，
∴GN∥BM，GN=BM，所以四边形BMNG为平行四边形，
∴MN∥BG；
∵△ABC为正三角形，∴BG⊥AC，又CC_1⊥面ABC，∴CC₁⊥BG，
∴BG⊥面ACC₁A₁，又MN∥BG，
所以MN⊥面ACC₁A₁，且MN?面AMC₁中，
所以平面AMC₁⊥面ACC₁A₁．