Question

设数列{an}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数M，使得当n＞M时，恒有|an-a

设数列{an}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数M，使得当n＞M时，恒有|an-a|＜q成立，就称数列{an}为收敛数列，且收敛于a．则下列结论中，正确的是______①等差数列{an}一定不是收敛数列；②等比数列的公比q满足|q|＜1，前n项和为Sn，则数列{Sn}收敛；③等差数列{an}公差不为0，数列{1anan+1}的前n项和为Sn，则数列{Sn}收敛；④数列{an}的通项公式为an=1+(?1)nn，则{an}不收敛．

Answer 1

对于①：
若该等差数列为常数列，则符合收敛的条件，
故①错误；
对于②：∵|q|＜1，
∴S_n=

a1(1?qn)

1?q

→

a1

1?q

，
∴数列{S_n}收敛；
对于③：等差数列{a_n}公差不为0，
设该数列的首项为a₁，公差为d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=nd+a₁-d，
∵

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

?

1

an+1

)
∴Sn＝

1

d

(

1

a1

?

1

a2

)+

1

d

(

1

a2

?

1

a3

)+…+

1

d

(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

d

(

1

a1

?

1

an+1

)
∴Sn→

1

a1d

，
∴数列{S_n}收敛，
故③正确；
对于④：
∵数列{a_n}的通项公式为a_n=1+

(?1)n

n

，
∴a_n→1，
∴{a_n}收敛，
故④错误．
故答案为：②③．