Question

已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=eax+3x，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）

已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=eax+3x，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=a-

1

x

=

ax?1

x

．
①当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减．
从而f（x）没有极大值，也没有极小值．
②当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

1

a

．f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的单调减区间为（0，

1

a

）；单调增区间为（

1

a

，+∞）．
从而f（x）的极小值为f（

1

a

）=1+lna；没有极大值．
（Ⅱ）解：g（x）的定义域为R，且 g′（x）=ae^ax+3．
③当a＞0时，显然 g′（x）＞0，从而g（x）在R上单调递增．
由（Ⅰ）得，此时f（x）在（

1

a

，+∞）上单调递增，符合题意．
④当a=0时，g（x）在R上单调递增，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
⑤当a＜0时，令g′（x）=0，得x₀=

1

a

ln（-

3

a

）．g（x）和g′（x）的情况如下表：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

当-3≤a＜0时，x₀≤0，此时g（x）在（x₀，+∞）上单调递增，由于f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
当a＜-3时，x₀＞0，此时g（x）在（-∞，x₀）上单调递减，由于f（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-3）∪（0，+∞）．