Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（0）=0,f（x）+f（1-x）=1,f（5/x）=½f（x）

定义在R上的函数y=f（x）满足f（0）=0,f（x）+f（1-x）=1,f（5/x）=½f（x），且当0≦x1≦x2≦1时f（x1）≦f（x2），则f（1/2013）=

Answer 1

原题是:定义在R上的函数y=f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(x/5)=(1/2)f(x),且当0≤x1≤x2≤1时,f(x1)≤f(x2),则f(1/2013)=?

结论:f(1/2013)=1/32

理由:
由已知 f(1)=1-f(0)=1 得 f(1)=1
由f(1/2)+f(1-1/2)=2f(1/2)=1 得 f(1/2)=1/2

又由f(x/5)=(1/2)f(x) 有 f(x)=2f(x/5)
f(1)=2f(1/5)=1 得f(1/5)=1/2

因 当0≤x1≤x2≤1时,f(x1)≤f(x2) 且 f(1/2)=f(1/5)=1/2
得 1/5≤x≤1/2时 f(x)=1/2

再由f(x/5)=(1/2)f(x) 得 f(5x)=2f(5x/5)=2f(x)
即 f(x)=(1/2)f(5x) ( 0≤x≤1/5)

所以 f(1/2013)=(1/2)f(5/2013)
=(1/4)f(25/2013)
=(1/8)f(125/2013)
=(1/16)f(625/2013) ( 1/5≤625/2013≤1/2)
=(1/16).(1/2)
=1/32

希望对你有点帮助！