Question

已知函数 f(x)=lnx+ 2a x ，a∈R ．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+

已知函数 f(x)=lnx+ 2a x ，a∈R ．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=lnx+ 2 x ，定义域为（0，+∞）， f ′ (x)= 1 x - 2 x 2 = x-2 x 2 ． 所以，当x∈（0，2）时，f ′ （x）＜0，f（x）为减函数； 当x∈（2，+∞）时，f ′ （x）＞0，f（x）为增函数， 所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2； （2）由 f(x)=lnx+ 2a x ，a∈R ，所以 f ′ (x)= 1 x - 2a x 2 = x-2a x 2 ． 若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则 f ′ (x)= x-2a x 2 ≥0 在[2，+∞）恒成立， 即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是 a≤ x 2 在[2，+∞）恒成立， 所以a≤1． 所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]； （3）由（2）知，以 f ′ (x)= 1 x - 2a x 2 = x-2a x 2 ， 若a≤0，则f ′ （x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数， f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3， a= 3 2 ，不合题意； 若a＞0，由f ′ （x）=0，得x=2a． 当x∈（0，2a）时，f ′ （x）＜0，f（x）为减函数， 当x∈（2a，+∞）时，f ′ （x）＞0，f（x）为增函数， 所以当2a≤1，即 a≤ 1 2 时，f（x）在[1，e]上为增函数， 最小值为f（1）=2a=3， a= 3 2 ，不合题意； 当2a≥e，即a≥ e 2 时，f（x）在[1，e]上为减函数， 最小值为f（e）=1+ 2a e =3，a=e，符合题意； 当1＜2a＜e，即 1 2 ＜a＜ e 2 时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a= e 2 2 不合题意． 综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．