Question

已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．（Ⅰ）求数列{an

已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得
d=

a4?a1

3

=

12?3

3

=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…），
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，则
q³=

b4?a4

b1?a1

=

20?12

4?3

=8，∴q=2，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1，
∴b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∵数列{3n}的前n项和为

3

2

n（n+1），数列{2^n-1}的前n项和为1×

1?2n

1?2

=2ⁿ-1，
∴数列{b_n}的前n项和为

3

2

n（n+1）+2ⁿ-1．