如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=AC，∠BAC的平分线AD的与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD与AC
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=AC，∠BAC的平分线AD的与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，H是CD的中点，连接OH．（...
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=AC，∠BAC的平分线AD的与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，H是CD的中点，连接OH．（1）试探究AB、AC、AE三条线段之间的等量关系式；（2）OH?DE=2?22，求⊙O的面积．
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（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
在△ADF和△ADB中，
，
∴△ADF≌△ADB，
∴AF=AB，DF=DB．
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠CDF=∠BAF．
∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴
=
，即FD?FB=FC?FA，
∵FB=AE，FD=
BF=
AE，FA=AB，FC=FA-AC=AB-AC，
∴
AE2=（AB-AC）?AB，
∴AE2=2（AB-AC）?AB=2AB2-2AC?AB．
（2）过点O作OG⊥BD于G，连接OC，如图2，
由垂径定理可得G为BD的中点．
∵O为AB的中点，G为BD的中点，
∴OG=
AD，即AD=2OG．
∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴CH=BG．
∵OH2=OC2-CH2，OG2=OB2-GB2，OC=OB，
∴OH=OG，
∴AD=2OG=2OH．
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∠EDB=∠BDA，
∴△BDE∽△ADB，
∴
=
，即BD2=AD?DE，
∴BD2=2OH?DE．
∵OH?DE=
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ACE和△BCF中，
|
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
在△ADF和△ADB中，
|
∴△ADF≌△ADB，
∴AF=AB，DF=DB．
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠CDF=∠BAF．
∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴
| FD |
| FA |
| FC |
| FB |
∵FB=AE，FD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
∴AE2=2（AB-AC）?AB=2AB2-2AC?AB．
（2）过点O作OG⊥BD于G，连接OC，如图2，
由垂径定理可得G为BD的中点．
∵O为AB的中点，G为BD的中点，
∴OG=
| 1 |
| 2 |
∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴CH=BG．
∵OH2=OC2-CH2，OG2=OB2-GB2，OC=OB，
∴OH=OG，
∴AD=2OG=2OH．
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∠EDB=∠BDA，
∴△BDE∽△ADB，
∴
| BD |
| AD |
| DE |
| DB |
∴BD2=2OH?DE．
∵OH?DE=
2?
|
