Question

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则 PC ? PB

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则 PC ? PB + BC 2 的最小值是______．

Answer 1

∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半， ∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1， 又△PBC的面积= 1 2 PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC= 2 sin∠BPC ． ∴ PC ? PB =PB×PCcos∠BPC= 2cos∠BPC sin∠BPC ． 由余弦定理，有：BC 2 =BP 2 +CP 2 -2BP×CPcos∠BPC． 显然，BP、CP都是正数，∴BP 2 +CP 2 ≥2BP×CP，∴BC 2 ≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC． ∴ PC ? PB + BC 2 ≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC= 4-2cos∠BPC sin∠BPC 令y= 4-2cos∠BPC sin∠BPC ，则y′= 2-4cos∠BPC si n 2 ∠BPC 令y′=0，则cos∠BPC= 1 2 ，此时函数在（0， 1 2 ）上单调增，在（ 1 2 ，1）上单调减 ∴cos∠BPC= 1 2 时， 4-2cos∠BPC sin∠BPC 取得最大值为 2 3 ∴ PC ? PB + BC 2 的最小值是 2 3 故答案为： 2 3